Question

已知圆C：x²+y²-4y-12=0，点P（4，0），直线l经过点P
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程
（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=4

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）若直线l与圆C相切，根据直线和圆相切的等价条件即可求直线l的方程
（2）根据弦长公式即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）圆的标准方程为x²+（y-2）²=16，圆心C（0，2），半径R=4，
若直线l与圆C相切，
当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，满足直线和圆相切，
当直线斜率存在，设斜率为k，
则直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圆心到直线的距离d=

|-2-4k|

1+k2

=4，
即|1+2k|=2

1+k2

，
平方得1+4k+4k²=4+4k²，
解得k=

3

4

，
此时直线方程为

3

4

x-y-4×

3

4

=0，即3x-4y-12=0，
综上直线l的方程为3x-4y-12=0或x=4．
（2）∵直线l被圆截得的弦长为4

3

，
∴圆心到直线的距离d=

R2-( 4 3 2 )2

 =

16-12

=

4

=2，
当直线斜率不存在时，直线方程为x=4，满足直线和圆相切，不满足相交，
故直线斜率存在，设斜率为k，
则直线l的方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
圆心到直线的距离d=

|-2-4k|

1+k2

=2，平方得1+4k+4k²=1+k²，
即4k+3k²=0，解得k=0或k=-

4

3

，
即直线方程为y=0或4x-3y-16=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件以及直线和相交的弦长公式是解决本题的关键．