Question

数列{a_n}是递增的等差数列且满足a₃+a₅=18，a₂=5，数列{a_n}的前n项和S_n
（1）求a_n和S_n
（2）令b_n=

1

an2-1

，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的首项和公差，然后由已知列关于首项和公差的方程组求解首项和公差，则等差数列的通项公式和前n项和可求；
（2）把a_n代入b_n=

1

an2-1

，整理后利用裂项相消法求{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是递增的等差数列，
∴设其首项为a₁，公差为d（d＞0），
由a₃+a₅=18，a₂=5，得

2a1+6d=18 a1+d=5

，解得：

a1=3 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．
Sn=na1+

n(n-1)d

2

=3n+n2-n=n2+2n；
（2）b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．