Question

已知圆O：x²+y²=4与直线l：y=x+b，在x轴上有点P（3，0），
（1）当实数b变化时，讨论圆O上到直线l的距离为2的点的个数；
（2）若圆O与直线l交于不同的两点A，B，且△APB的面积S=

9

2

tan∠APB，求b的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线l的距离d，分类讨论d与r的大小即可得出圆O上到直线l的距离为2的点的个数；
（2）利用三角形的面积公式表示出三角形APB的面积，代入已知的等式中整理求出

PA

•

PB

=9，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到

PA

=（x₁-3，y₁），

PB

=（x₂-3，y₂），利用平面向量的数量积运算法则列出关系式（i），联立直线与圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，表示出x₁x₂，x₁+x₂，y₁y₂，代入（i）中计算求出b的值即可．

解答： 解：（1）圆心O（0，0）到直线l：y=x+b的距离为d=

|b|

2

，
则当d=

|b|

2

＞4，即|b|＞4

2

时，个数为0；
当d=

|b|

2

=4，即|b|=4

2

时，个数为1；
当d=

|b|

2

＜4，即|b|＜4

2

时，个数为2；
（2）由S=

9

2

tan∠APB=

1

2

PA•PB•sin∠APB，得到PA•PB•cos∠APB=9，即

PA

•

PB

=9，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到

PA

=（x₁-3，y₁），

PB

=（x₂-3，y₂），
则（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=9，
即x₁x₂-3（x₁+x₂）+y₁y₂=0（i），
联立直线与圆方程得：

y=x+b x2+y2=4

，
消去y得2x²+2bx+b²-4=0，
则

△=32-4b2＞0 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

，即

b2＜8 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

，
将y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=

b2

2

-2，代入（i）得b²+3b-4=0，
变形得：（b+4）（b-1）=0，
解得：b=-4或b=1，
由于b²＜8，得到b=1．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键．