Question

函数y=f（x）的图象与y=2^x的图象关于y轴对称，若y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，则y=f^-1（x²-2x）的单调递增区间是

 

．

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：函数y=f（x）的图象与y=2^x的图象关于y轴对称，可得f（x）=2^-x．由于y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，可得f^-1（x）=log

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2

x．y=f^-1（x²-2x）=log

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2

(x2-2x)=log

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2

[(x-1)2-1]，再利用对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵函数y=f（x）的图象与y=2^x的图象关于y轴对称，
∴f（x）=2^-x．
∵y=f^-1（x）是y=f（x）的反函数，
∴f^-1（x）=log

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2

x．
y=f^-1（x²-2x）=log

1

2

(x2-2x)=log

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2

[(x-1)2-1]，
∵x²-2x＞0，解得x＜0，或x＞2．
当x∈（-∞，0）时，函数u（x）=（x-1）²-1单调递减，因此y=f^-1（x²-2x）单调递增．
∴y=f^-1（x²-2x）的单调递增区间是（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．

点评：本题考查了反函数的求法、对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．