Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若角A、B、C成等差数列，且b=1，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，由余弦定理列出关系式，把b=1，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形ABC的面积．

解答： 解：∵A、B、C成等差数列，A+B+C=π
∴2B=A+C，即B=

π

3

，
∵b=1，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=1，
整理得：1=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

3

4

，当且仅当a=c时最大值，
则△ABC面积的最大值为

3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及等差数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．