Question

13．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且AB=$\frac{1}{3}$AC，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°．
（Ⅰ）求AF的长；
（Ⅱ）求$\frac{ED}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可延长BE并交圆E于M，并连接CM，从而画出图形，根据条件便可求出BC的长，进而求出AC的长，从而根据切割线定理求出AF的长；
（Ⅱ）可过E作EH⊥BC，从而可得出△EDH与△ADF相似，从而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$，再根据题意即可得出EH的长，从而便可求出$\frac{ED}{AD}$的值．

解答 解：（Ⅰ）如图，延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，

又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以$BC=2\sqrt{3}$，
又$AB=\frac{1}{3}AC$，可知$AB=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，所以$AC=3\sqrt{3}$．
根据切割线定理得$A{F^2}=AB•AC=\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$，即AF=3．
（Ⅱ）过E作EH⊥BC于H，则△EDH∽△ADF，从而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$，

又由题意知$BH=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}，BE=2$
所以EH=1，
因此$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{3}$．

点评 考查直径所对圆周角为直角，三角函数定义，以及切割线定理，三角形相似的判定，相似三角形的对应边的比例关系．