Question

16．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，Q为右支上一点，P点在直线x=-a上，且满足$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，$\overrightarrow{OQ}$=λ（$\frac{\overrightarrow{O{F}_{2}}}{|\overrightarrow{O{F}_{2}}|}$+$\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}$）（λ≠0），则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$+1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，$\overrightarrow{OQ}$=λ（$\frac{\overrightarrow{O{F}_{2}}}{|\overrightarrow{O{F}_{2}}|}$+$\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}$）（λ≠0），可知OQ垂直平分PF₂，求出P的坐标，可得Q的坐标，代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得出a，c的数量关系，从而求出双曲线的离心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，$\overrightarrow{OQ}$=λ（$\frac{\overrightarrow{O{F}_{2}}}{|\overrightarrow{O{F}_{2}}|}$+$\frac{\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OP}|}$）（λ≠0），
∴OQ垂直平分PF₂，
∴|OP|=c，
∴P（-a，b），
∴Q（$\frac{c-a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{（c-a）^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{1}{4}$=1，
∴c-a=$\sqrt{5}$a，
∴c=（$\sqrt{5}$+1）a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$+1，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．