Question

7．设关于x不等式x²+n²-x＜3nx-n²-n（n∈N^*）的解集中整数的个数为a_n，数列{${\frac{{2{a_n}+1}}{2^n}}\right.$}的前n项和为D_n，则满足条件?n∈N^*，D_n＜t的常数t的最小整数为5．

Answer 1

分析 通过解已知不等式可以求得x的取值范围；利用错位相减法可以求得D_n通项公式．

解答 解：原不等式可化为x²-（3n-1）x+2n²+n＜0，即[x-（2n+1）]（x-n）＜0，
可解得n＜x＜2n+1，（n∈N^*），
其中满足x的整数个数a_n=n•${\frac{{2{a_n}+1}}{2^n}}\right.$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，则
D_n=$\frac{3}{{2}^{1}}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$D_n=$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减，得
$\frac{1}{2}$D_n=$\frac{3}{2}$+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
所以D_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
设f（x）=$\frac{2x+5}{{2}^{x}}$，x≥0，
f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}-（2x+5）{2}^{x}ln2}{{4}^{x}}$＜0，
则f（x）在[0，+∞）上单调递减，x→+∞时，D_n→5，
所以t的最小整数为5．
故答案是：5．

点评 本题考查了数列与函数的综合．根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．