若向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=2.|$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{7}$.则向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=2，|$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{7}$，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

分析可知$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=1$，对$|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}|=2\sqrt{7}$两边平方进行数量积的运算即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，从而便可得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答解：根据条件：$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=1$；
∴$|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$4-8•2•1•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+16$
=$20-16cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$
=28；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$-\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评考查向量数量积的运算及计算公式，已知三角函数值求角，以及向量夹角的范围．