Question

14．在△ABC中（图），$A=\frac{π}{3}，cosC=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}，BC=\sqrt{7}，\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$．
（Ⅰ）求边AC的长；
（Ⅱ）求sin∠CBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin∠ABC的值，进而利用正弦定理可求AC的值．
（Ⅱ）结合AC=3，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$，可求DC=1，在△BCD中，根据余弦定理可求BD，由正弦定理可求sin∠CBD的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）因为$cosC=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，C∈（0，π），
所以：$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
所以：sin∠ABC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{2\sqrt{7}}}{7}+\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{21}}}{7}=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，…（3分）
由$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{BC}{sinA}$，得$AC=\frac{BC}{sinA}•sin∠ABC=3$．                  …（5分）
（Ⅱ）结合AC=3，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$知，DC=1．
在△BCD中，根据余弦定理BD²=DC²+BC²-2DC×BC•cosC=4，
于是BD=2．                                     …（8分）
由$\frac{DC}{sin∠CBD}=\frac{BD}{sinC}$，得$sin∠CBD=\frac{DC×sinC}{BD}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．           …（10分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．