Question

19．函数y=sinxcosx+sinx+cosx（x∈R）的最大值是$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用换元法，转化为二次函数问题，利用二次函数性质即可求最大值．

解答 解：函数y=sinxcosx+sinx+cosx．
令sinx+cosx=t，
由于sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，
∴$-\sqrt{2}≤$t$≤\sqrt{2}$
则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
那么：函数y 转化为g（t）=$\frac{1}{2}{t}^{2}+t-\frac{1}{2}$，（$-\sqrt{2}≤$t$≤\sqrt{2}$）
可知g（t）开口向上，对称轴x=$-\frac{1}{4}$，
∴当$-\sqrt{2}≤$t$≤-\frac{1}{4}$上时，函数g（t）是单调递减．
∴当$-\frac{1}{4}≤t≤\sqrt{2}$上时，函数g（t）是单调递增．
∴g（$\sqrt{2}$）_max=$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数性质及化解能力，转化思想和换元法．利用了二次函数的性质．属于基础题．