Question

已知f（x）=

lnx

1+x

-lnx，f（x）在x=x₀处取得最大值，以下各式正确的序号为（　　）
①x₀＜1；
②x₀＞1；
③f（x₀）＜x₀；
④f（x₀）=x₀；
⑤f（x₀）＞x₀．

• A、①③
• B、①④
• C、②④
• D、②⑤

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：f′(x)=

1+x x -lnx

(1+x)2

-

1

x

=-

x+1+lnx

(1+x)2

，令g（x）=x+1+lnx，将g（x）=lnx+x+1的零点看成y=lnx与y=-1-x的交点个数处理，得g（x）=lnx+x+1的零点只有一个，即为题中的x₀，由此能求出结果．

解答： 解：∵f（x）=

lnx

1+x

-lnx，
∴f′(x)=

1+x x -lnx

(1+x)2

-

1

x

=

1+x-xlnx

x(1+x)2

-

x2+2x+1

x(1+x)2

=-

x+1+lnx

(1+x)2

，
令g（x）=x+1+lnx，
将g（x）=lnx+x+1的零点看成y=lnx与y=-1-x的交点个数处理，
∴g（x）=lnx+x+1的零点只有一个，
即为题中的x₀，且x₀＞1．故①错误，②正确；
∵g（x）=lnx+x+1的零点看成y=lnx与y=-1-x的交点，
∴-x₀-1=lnx₀，
∴f（x₀）=

-x0lnx0

1+x0

=x₀，故④正确，③⑤均错误．
故选：C．

点评：本题考查真假命题的判断，是中档题，解题时要注意导数性质和函数零点性质的合理运用．