题目内容
用适当方法证明：
（1）已知：a＞0，b＞0，求证：
+
≥
+
；
（2）若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2．求证：
和
中至少有一个小于2．
（1）已知：a＞0，b＞0，求证：
| a | ||
|
| b | ||
|
| a |
| b |
（2）若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2．求证：
| 1+x |
| y |
| 1+y |
| x |
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：（1）利用基本不等式即可证明；
（2）用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．
（2）用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．
解答：
证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴
+
≥2
，
+
≥2
，
∴
+
≥
+
；
（2）假设
和
都大于或等于2，
即
≥2且
≥2，
∵x，y∈R+，故可化为1+x≥2y且1+y≥2x，
两式相加，得x+y≤2，
与已知x+y＞2矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
∴
| a | ||
|
| b |
| a |
| b | ||
|
| a |
| b |
∴
| a | ||
|
| b | ||
|
| a |
| b |
（2）假设
| 1+x |
| y |
| 1+y |
| x |
即
| 1+x |
| y |
| 1+y |
| x |
∵x，y∈R+，故可化为1+x≥2y且1+y≥2x，
两式相加，得x+y≤2，
与已知x+y＞2矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
点评：对于一些条件相对较少或者证明时需要分类讨论的题型，最好试试用反证法能否证明问题．
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