Question

设函数f（x）是定义在R上的非常值函数，且对任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）证明：f（0）=1；
（2）设A={（x，y）|f（x²）f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+m）=1}，若f（x）在R上是单调增函数，且A∩B=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,数形结合法

分析：（1）用特殊值法，在f（x+y）=f（x）f（y）中，令y=0得f（x）=f（x）•f（0），分析即可得f（0）=1，即得到证明；
（2）根据题意，分析f（x²）f（y²）＜f（1）可得f（x²+y²）＜f（1），进而结合函数的单调性由f（x²+y²）＜f（1）可得x²+y²＜1，又f（x+y+m）=1可得f（x+y+m）=f（0）?x+y+m=0，分析其几何意义，将其转化为直线与圆的位置关系，计算可得答案．

解答： 解：（1）证明：
根据题意，在f（x+y）=f（x）f（y）中，令y=0得f（x）=f（x）•f（0），
又由f（x）不是常数，故f（0）=1；
（2）对于集合A={（x，y）|f（x²）f（y²）＜f（1）}，
由f（x+y）=f（x）f（y）可得f（x²+y²）＜f（1），
又由f（x）在R上是单调增函数，则x²+y²＜1，
可以看出集合A表示原点为圆心，1为半径的圆内部分（不包括边界），
对于集合B，由f（0）=1，
则f（x+y+m）=1?f（x+y+m）=f（0）?x+y+m=0，
集合B表示直线x+y+m=0，
若A∩B=∅，即直线与圆没有交点，
即A∩B=∅?

|0+0+m|

2

≥1．
解可得m≤-

2

或m≥

2

，
故m的取值范围是（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．

点评：本题考查抽象函数的性质，涉及直线与圆的位置关系和集合的表示法，关键是分析集合元素的意义，将其转化为直线与圆的位置关系．