Question

【题目】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明数列{}为等差数列；

（3）设数列{cn}的通项公式为：Cn=，其前n项和为Tn，求T2n.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由等比数列的基本量法求解；

（2）求得，再证为常数即可；

（3）先并项，设，然后有，用错位相减法计算．

（1）由于等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2=2a2-2，S3=a4-2，

所以S3-S2=a4-2a2=a3，

整理得，

由于a2≠0，

所以q2-q-2=0，由于q>0，

解得q=2.

由于a1+a2=2a2-2，解得a1=2，

所以.

（2）数列{an}满足a2=4b1，解得b1=1，

由于nbn+1-（n+1）bn=n2+n，

所以（常数）.

所以数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列.

（3）由于数列数列{}是以1为首项1为公差的等差数列.

所以，解得

由于数列{cn}的通项公式为：Cn=，

所以令==（4n-1）4n-1.

所以①，

4②，

①-②得：-（4n-1）4n，

整理得，

故：.