Question

【题目】江南某湿地公园内有一个以为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道,其路线为(如图，在右侧）．其中，与圆相切于点，米．设，满足．

（1）试将木栈道的总长表示成关于的函数，并指出其定义域；

（2）求木栈道总长的最短长度．

Answer 1

【答案】（1），定义域为，其中；（2）

【解析】

（1）试将木栈道的总长表示成关于的函数，由且求三角不等式得函数定义域；
（2）利用导数求木栈道总长的最短长度.

解：（1）过分别向和作垂线，垂足为，

由题意可得，，
则.
在直角三角形中，.
.
又，
且，

令，则.
∴定义域为，；
（2）由，得.
令，得，
，∴当时，.
故木栈道总长的最短长度为米.