题目内容
【题目】已知是椭圆
与抛物线
的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点
.
(1)求椭圆及抛物线
的方程;
(2)设过且互相垂直的两动直线
,
与椭圆
交于
两点,
与抛物线
交于
两点,求四边形
面积的最小值
【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为
,抛物线
的方程为
;(Ⅱ)见解析.
【解析】
(1)先求 ,即得c,再将点P坐标代入椭圆方程,解方程组得a,b,即得结果,(2)根据垂直条件得
,设直线
的方程
,与椭圆方程联立方程,结合韦达定理以及弦长公式解得AB,类似可得CD,最后根据二次函数性质求最值.
(Ⅰ)抛物线
:
一点
,即抛物线
的方程为
,
又在椭圆
:
上
,结合
知
(负舍),
,
椭圆
的方程为
,抛物线
的方程为
.
(Ⅱ)由题可知直线斜率存在,设直线
的方程
,
①当时,
,直线
的方程
,
,故
②当时,直线
的方程为
,由
得
.
由弦长公式知
.
同理可得.
.
令,则
,当
时,
,
综上所述:四边形面积的最小值为8.
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