题目内容
【题目】如图,三棱柱的所有棱长都是2,
面
,
,
分别是
,
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)推导出,从而平面
平面
,进而
平面
,
,再求出
,由此能证明
平面
.
(2)本问方法较多,可用割补法,转换顶点法,构造法等,其中割补法较为方便,将转化为
,即可求解.
解:(1)∵,
是
的中点,
∴,
∵三棱柱中
平面
,
∴平面平面
,且平面
平面
,
∴平面
,
∵平面
,
∴.
又∵在正方形中,
,
分别是
,
的中点,
∴,
又,
∴平面
.
(2)解法一(割补法):
.
解法二(利用平行顶点轮换):
∵,
∴,
∴
.
解法三(利用对称顶点轮换):
连结,交
于点
,
∵为
的中点,
∴点到平面
的距离等于点
到平面
的距离.
∴
.
解法四(构造法):
连结,交
于点
,则
为
的中点,再连结
.
由题意知在中,
,
,所以
,且
,
又,
,所以
,所以
,
又,
∴面
,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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