Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线的方程是$y=\sqrt{3}x$，它的一个焦点落在抛物线y²=16x的准线上，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{24}=1$
• B． $\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{8}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
• D． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 利用抛物线的准线方程，推出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线的方程是$y=\sqrt{3}x$，可得b=$\sqrt{3}$a，
它的一个焦点落在抛物线y²=16x的准线上，可得c=4，即16=a²+b²，
a=2，b=2$\sqrt{3}$．
所求的双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．