设F(c.0)是双曲线E:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点.$P(\frac{a^2}{c}.\frac{{\sqrt{2}a}}{2})$为直线上一点.且直线垂直于x轴.垂足为M.若△PMF等腰三角形.则E的离心率为( )A．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$B．$\sqrt{3}$C．$\frac{{\sqrt{2}}}{2 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．设F（c，0）是双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点，$P（\frac{a^2}{c}，\frac{{\sqrt{2}a}}{2}）$为直线上一点，且直线垂直于x轴，垂足为M，若△PMF等腰三角形，则E的离心率为（　　）

A．

$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

D．

$\sqrt{2}$

分析运用等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到．

解答解：由题意，c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，∴e-$\frac{1}{e}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵e＞1，∴e=$\sqrt{2}$，
故选D

点评本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．

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②当a＜0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0
③当a＞0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0
④当a＞0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0
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