Question

设数列{a_n} 的首项为a₁=1，前n项和为S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），n∈N*．
（1）求a₂的值及数列{a_n} 的通项公式a_n；
（2）若数列 {b_n} 满足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，当n≥2，记En=

22

b2

+

33

b3

+

42

b4

+…+

n2

bn

．
①计算E₉的值；
②求

lim

n→∞

(2n-En)的值．

Answer 1

分析：（1）由题意数列{a_n} 的首项为a₁=1，前n项和为S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），利用数列的前n项和求出通项即可；
（2）①有数列 {b_n} 满足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，先推导出

n2

bn

通项公式，②并对该式子分奇偶进行讨论求出2n-En=

22

b2

+

33

b3

+

42

b4

+…+

n2

bn

，并有导出

n2

bn

的通项公式代入，再利用数列的极限求得．

解答：解：（1）因为有已知：na_n-S_n=2n（n-1），a₂=5，
     当n≥2时，（n-1）a_n-1-S_n-1=2（n-1）（n-2），
∴na_n-（n-1）a_n-1-S_n+S_n-1=2n（n-1）-2（n-1）（n-2），
    即（n-1）（a_n-a_n-1）=4（n-1）（n≥2），∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
    故数列{a_n}是公差为4的等差数列，
∴a_n=4n-3（n∈N⁺）；
（2）由于数列 {b_n} 满足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，
∴4b_n=2n²-1+（-1）ⁿ（n∈N⁺），∴bn=

2n2-1+(-1)n

4

，
故b1=0，

n2

bn

=

4n2

2n2-1+(-1)n

(n≥2，n∈N+)，
当n为大于0的偶数时，

n2

bn

=

4n2

2n2

=2，
当n为大于1的奇数时，

n2

bn

=

4n2

2n2-2

=

2n2

n2-1

=2+

1

n-1

-

1

n+1

，
∴E₉=（b₁+b₃+b₅+b₇+b₉）+（b₂+b₄+b₆+b₈）=8+8+

1

3-1

-

1

9+1

=

82

5

当n＞1，且n∈N⁺时，若n为偶数，则2n-En=2n-[2×

n

2

+2(

n

2

-1)+

1

2

-

1

n

]=

3

2

+

1

n

，
                       若n为大于1的奇数，则2n-En=2n-[2×(

n-1

2

)+2(

n-1

2

)+

1

2

-

1

n+1

]=

3

2

+

1

n+1

，
∴2n-En=

3

2

+

2

2n+1-(-1)n

  
∴

lim

n→∞

(2n-En)=

lim

n→∞

[

3

2

+

2

2n+1-(-1)n

]=

3

2

．

点评：此题考查了学生的分类讨论的能力及严谨的逻辑推导能力，还考查了已知数列的前n项的和求数列的通项，数列的极限．