Question

设数列{a_n}的首项a1=

1

2

，且an+1=

2an

1+an

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据上述结果猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，由a₁的值，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想 an=

2n-1

2n-1+1

，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答：解：（1）a2=

2

3

，a3=

4

5

，a4=

8

9

…（2分）
（2）猜想an=

2n-1

2n-1+1

，（n∈N^*）…（2分）
证明：①当n=1时，左边=a₁，右边=

21-1

21-1+1

=

1

2

，猜测成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时有ak=

2k-1

2k-1+1

成立
则当n=k+1时，左边=

2ak

1+ak

=

2• 2k-1 2k-1+1

1+ 2k-1 2k-1+1

=

2k

2k+1

=右边．故猜测也成立．
由①②可得对一切n∈N^*，数列{a_n}的通项公式为an=

2n-1

2n-1+1

（n∈N^*）…（4分）

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．