Question

设数列{a_n}的首项a₁≠

1

4

，且a_n+1=

1 2 an n是偶 an+ 1 4 n是奇

，记b_n=a_2n-1-

1

4

，n=1，2，3…
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）求

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）

Answer 1

分析：（I）根据题设条件，分别令n=1，2，能够求出a₂和a₃．
（II）由a₄=a₃+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，知a₅=

1

2

a₄=

1

4

a+

3

16

，所以b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

（a-

1

4

），b₃=a₅-

1

4

=

1

4

（a-

1

4

），猜想：{b_n}是公比为

1

2

的等比数列．再用题设条件进行证明．
（III）

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

lim

n→∞

b1(1- 1 2n )

1- 1 2

=

b1

1- 1 2

，由此能求出其结果．

解答：解：（I）a₂=a₁+

1

4

=a+

1

4

，a₃=

1

2

a₂=

1

2

a+

1

8

；
（II）∵a₄=a₃+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，所以a₅=

1

2

a₄=

1

4

a+

3

16

，
所以b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

（a-

1

4

），b₃=a₅-

1

4

=

1

4

（a-

1

4

），
猜想：{b_n}是公比为

1

2

的等比数列•
证明如下：
因为b_n+1=a_2n+1-

1

4

=

1

2

a_2n-

1

4

=

1

2

（a_2n-1-

1

4

）=

1

2

b_n，（n∈N*）
所以{b_n}是首项为a-

1

4

，公比为

1

2

的等比数列．
（III）

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

lim

n→∞

b1(1- 1 2n )

1- 1 2

=

b1

1- 1 2

=2（a-

1

4

）．

点评：本题考查数列的极限和运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．