题目内容

设数列{an}的首项a1=1且前n项和为Sn．已知向量
a
=(1，an)，
b
=(an+1，
1
2
)满足
a
⊥
b
，则
lim
n→∞
Sn=
2
3
2
3
．
分析：利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列{an}是以首项a1=1，公比为-
1
2
的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求．
解答：解：由题意，∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
= 0，∴an+1=-
1
2
an
即数列{an}是以首项a1=1，公比为-
1
2
的等比数列，
∴
lim
n→∞
Sn=
1
1+
1
2
=
2
3

故答案为
2
3
点评：本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}的首项a1=
3
2
，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（ n∈N*）．
（Ⅰ）求a2及an；
（Ⅱ）求满足
18
17
＜
S2n
Sn
＜
8
7
的所有n的值．
设数列{an}的首项a1=a≠
1
4
，且an+1=
1
2
an		(n为偶数)
an+
1
4
(n为奇数)
，n∈N*，记bn=a2n-1-
1
4
，cn=
sinn
|sinn|
bn，n∈N*．
（1）求a2，a3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当a＞
1
4
时，数列{cn}前n项和为Sn，求Sn最值．
设数列{an}的首项a1=
1
2
，且an+1=
2an
1+an
（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根据上述结果猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
（2012•昌平区二模）设数列{an}的首项a1=-
1
2
，前n项和为Sn，且对任意n，m∈N*都有
Sn
Sm
=
n(3n-5)
m(3m-5)
，数列{an}中的部分项{abk}(k∈N*）成等比数列，且b1=2，b2=4．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}与的通项公式；
（Ⅱ）令f(n)=
1
bn+1
，并用x代替n得函数f（x），设f（x）的定义域为R，记cn=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)(n∈N*)，求
n
i=1
1
cici+1
．
设数列{an}的首项a1=
5
4
，且an+1=
1
2
an，n为偶数
an+
1
4
，n为奇数
，记bn=a2n-1-
1
4
，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若设数列{cn}的前n项和为Sn，cn=nbn，求Sn．

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