Question

设数列{a_n}的首项a₁∈（0，1），a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊）
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=a_n

3-2an

，判断数列{b_n}的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）  由已知a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊），递推公式两边同减去1得出，a_n+1-1=

1-an

2

=-

1

2

 (an -1)，，判断出{a_n-1}为等比数列．先求出{a_n-1}的通项公式，再求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ） 判断数列{b_n}的单调性，可以转化为考虑{b_n²}的单调性，应判断出 b_n=的正负性，结合不等式的性质证明．

解答：解：（Ⅰ） 已知a_n+1=

3-an

2

（n∈N₊），递推公式两边同减去1得出，
a_n+1-1=

1-an

2

=-

1

2

 (an -1)，
故{a_n-1}为等比数列，且首项为a₁-1，公比为-

1

2

，
根据等比数列通项公式可得{a_n-1} 的通项公式为
 an-1=(a1-1)(-

1

2

)n-1
∴{a_n}的通项公式为
an=1+(a1-1)(-

1

2

)n-1
（Ⅱ）是递增数列．
证明如下：
∵0＜a₁＜1，
∴-1＜a₁-1＜0，
又当n≥2时，(-

1

2

)n-1＞-

1

2

根据不等式的性质得出
0＜(a1-1)(-

1

2

)n-1＜

1

2

∴an∈(0，1)∪(1，

3

2

)．⇒bn=an

3-2an

＞0
∴b_n+1²-b_n²=a_n+1²（3-2a_n+1）-a_n²（3-2a_n）
=(

3-an

2

)2an-

a

2 n

(3-2an)=

9

4

an(an-1)2＞0
∴b_n+1²＞b_n²⇒b_n+1＞b_n．
故{b_n}为递增数列．

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，考查变形构造、计算能力，以及不等式的证明．属于中档题．