Question

17．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+3lnx，g（x）=-bx$，其中a，b∈R．设h（x）=f（x）-g（x），若$f'（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=0$，且f′（1）=g（-1）-2．
（1）求a，b的值；
（2）求函数h（x）的图象在点（1，-4）处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程即可求出a，b的值．
（2）求出切点坐标，切线的斜率，即可求解切线方程．

解答 解：（1）因为${f^/}（x）=ax+\frac{3}{x}$，所以f′（1）=a+3．
由f′（1）=g（-1）-2可得b=a+5，又${f^'}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=0$，
所以${f^/}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a+3\sqrt{2}=0$，
所以a=-6，b=-1．
（2）h（x）=-3x²+3lnx-x点（1，-4）为切点，
故${h^/}（x）=-6x+\frac{3}{x}-1$，
斜率k=h′（1）=-4，
故切线方程为y=-4x．

点评 本题考查切线方程的求法，函数的解析式的求法，导数的应用，考查计算能力．