Question

12．已知定义域为R的函数f（x）以4为周期，且函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈（-1，1]}\\{2-|x-2|，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，若满足函数g（x）=f（x）-mx（m＞0）恰有5个零点，则m的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{15}}{15}$，$\frac{1}{3}$）
• B． [$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$）
• C． （$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$]
• D． （$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$]

Answer 1

分析 函数g（x）=f（x）-mx（m＞0）恰有5个零点时，直线y=mx与函数f（x）的图象恰有5个交点，画出函数的图象，数形结合，可得答案．

解答 解：∵定义域为R的函数f（x）以4为周期，且函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈（-1，1]}\\{2-|x-2|，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，
故函数f（x）的图象如下图所示：

当直线y=mx过（10，2）点时，m=$\frac{1}{5}$，
当直线与第二个半圆相切时，圆心（4，0）到直线y=mx的距离为1，
则m=$\frac{1}{\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
由图可得：函数g（x）=f（x）-mx（m＞0）恰有5个零点时，
直线y=mx与函数f（x）的图象恰有5个交点，
故m∈[$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$），
故选：B

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，将函数零点转化为函数图象的交点，是解答的关键．