Question

7．已知函数f（x）=|x²+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M（a，b∈R，c＞0位常数）且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c=2．

Answer 1

分析 函数y=x²+ax+b是二次函数，可得函数f（x）=|x²+ax+b|在区间[0，c]内的最大值在端点处或x=-$\frac{a}{2}$处取得．
分别讨论即可得到a+c=0，b=2，可得a+b+c=2．

解答 解：函数y=x²+ax+b是二次函数，
∴函数f（x）=|x²+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M在端点处或x=-$\frac{a}{2}$处取得．
若在x=0处取得，则b=±2，
若在x=-$\frac{a}{2}$处取得，则$|b-\frac{{a}^{2}}{4}|=2$，
若在x=c处取得，则|c²+ac+b|=2．
若b=2，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合要求，
若b=-2则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．
由此推断b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，即有b=2，则a+c=0，
可得a+b+c=2．
故答案为：2．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．