Question

13．a_n+1=$\frac{n}{n+1}$a_n+1，且a₁=1，则a_n=$\frac{n+1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式求出数列前几项，猜测、归纳出数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明．

解答 解：由a_n+1=$\frac{n}{n+1}$a_n+1，且a₁=1得：
${a}_{2}=\frac{1}{2}×1+1=\frac{3}{2}$，${a}_{3}=\frac{2}{3}{a}_{2}+1=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}+1=2=\frac{4}{2}$，
${a}_{4}=\frac{3}{4}{a}_{3}+1=\frac{3}{4}×2+1=\frac{5}{2}$，${a}_{5}=\frac{4}{5}{a}_{4}+1=\frac{4}{5}×\frac{5}{2}+1=\frac{6}{2}$，
…
由此猜测：${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$．
下面利用数学归纳法证明：
${a}_{1}=1=\frac{2}{2}=\frac{1+1}{2}$，命题成立；
假设n=k（k∈N^*且k≥1）命题成立，即${a}_{k}=\frac{k+1}{2}$，
则当n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{k}{k+1}{a}_{k}+1=\frac{k}{k+1}•\frac{k+1}{2}+1=\frac{k+2}{2}$=$\frac{（k+1）+1}{2}$，命题成立．
综上，对于任意n∈N^*，都有${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$成立．
故答案为：$\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了利用猜测、归纳的方法求数列的通项公式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题的方法，是中档题．