Question

5．定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，f（x）=-f（x+2），且x∈（-1，0）时，f（x）=2^x-$\frac{1}{5}$，则f（log₂20）=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． -$\frac{3}{5}$
• C． -$\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由已知可得函数为定义域内的奇函数，并求得函数周期，把log₂20利用对数的运算性质转化为（-1，0）内的函数值求解．

解答 解：由f（-x）+f（x）=0，可知函数f（x）为定义域内的奇函数，
由f（x）=-f（x+2），得f（x+2）=-f（x），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即f（4+x）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数．
又x∈（-1，0）时，f（x）=2^x-$\frac{1}{5}$，
∴f（log₂20）=f（-4+log₂20）=f（$lo{g}_{2}\frac{20}{16}$）
=f（$lo{g}_{2}\frac{5}{4}$）=-f（$lo{g}_{2}\frac{4}{5}$）=-${2}^{lo{g}_{2}\frac{4}{5}}+\frac{1}{5}$=$-\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=-\frac{3}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的周期性与奇偶性的性质，训练了与抽象函数有关的函数性质的应用，是中档题．