题目内容
椭圆
+y2=1中斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
| x2 |
| 4 |
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设弦的两端点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点为M（x，y），
解答：
解：（1）设弦的两端点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点为M（x，y），
则2x=x1+x2，2y=y1+y2，
把A、B两点代入
+y2=1得，
，
两式相减并整理可得，
+y12-y22=0，
+(y1+y2)(y1-y2)=0，
即
+2y(y1-y2)=0，①
又平行弦AB的斜率为1，所以
=1，代入式①得x+4y=0，
所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分），
故答案为：x+4y=0（椭圆内部分）．
则2x=x1+x2，2y=y1+y2，
把A、B两点代入
| x2 |
| 4 |
|
两式相减并整理可得，
| x12-x22 |
| 4 |
| (x1+x2)(x1-x2) |
| 4 |
即
| x(x1-x2) |
| 2 |
又平行弦AB的斜率为1，所以
| y1-y2 |
| x1-x2 |
所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分），
故答案为：x+4y=0（椭圆内部分）．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，注意点差法的合理运用，是中档题．
练习册系列答案
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