Question

数列{a_n}为正项等比数列，它的前k项和为80，其中最大项为54，前2k项和为6560，其中k∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的首项a₁和公比q；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和b₁+b₂+b₃+…+b_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据S_2n-S_n=6480＞S_n，可推断出公比大于1，即数列为递增数列，故可知第n项为数值的最大项．与S_n=80，S_2n=6560联立方程可求得首项a和q的值．
（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知a_n=2×3^n-1，继而得到b₁+b₂+b₃+…+b_n=n+（0+1+2+…+n-1）log₂3，求的结果即可．

解答： 解：（Ⅰ）设公比为q，∵S_2n-S_n=6480＞S_n，
∴q＞1．
又由a_n＞0，则最大项是a_n=a₁q^n-1=54；①
又S_n=

a1(1-qn)

1-q

=80，②
S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

=6560，③
由①②③解得a₁=2，q=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n=2×3^n-1，
∴b_n=log₂2×3^n-1=1+（n-1）log₂3，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=n+（0+1+2+…+n-1）log₂3=n+

n(n-1)

2

log₂3．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及求和公式，解题的关键是通过判断数列的递增或递减找到数值最大项．