Question

3．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，则BM与AN所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{70}}{10}$．

Answer 1

分析 已知ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，取BC的中点0，连接A0，NM，BM，BM∥NO，BC∥NM，那么AN和NO所成角即为BM与AN所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小．

解答 解：∵M，N分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，
取BC的中点0，连接AO，NM，BM，
∴BM∥NO，BC∥NM且BC=2NM，
那么AN和NO所成角即为BM与AN所成角．
∵设BC=CC₁=CA=2，∠BCA=90°，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴AO=$\sqrt{5}$，AN=$\sqrt{5}$，BM=NO=$\sqrt{6}$
cos∠ANO=$\frac{A{N}^{2}+N{O}^{2}-A{O}^{2}}{2AN•NO}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$
sin∠ANO=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ANO}=\frac{\sqrt{70}}{10}$．
故答案为$\frac{\sqrt{70}}{10}$．

点评 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．