Question

13．设α∈（0，$\frac{π}{2}$），且$sinα-cosα=\frac{1}{5}$
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）设f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈R）
①求f（x）的最小正周期和图象的对称中心坐标；
②求f（x）在区间$[-\frac{11π}{24}，-\frac{5π}{24}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简，通过解方程求解即可．
（2）①利用正弦函数的周期的求法，以及对称中心的求法求解即可．
②求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．

解答 解：（1）∵$sinα-cosα=\frac{1}{5}$①
∴$1-2sinαcosα=\frac{1}{25}$
∴$sin2α=\frac{24}{25}$，1+2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，
sinα+cosα=$\frac{7}{5}$②
联立①，②解得：$sinα=\frac{4}{5}，cosα=\frac{3}{5}$．
（2）①f（x）=5cos（2x-α）+cos2x
=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x
=3cos2x+4sin2x+cos2x
=4（sin2x+cos2x）
=$4\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$
令$2x+\frac{π}{4}=kπ，得：$$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}，（k∈Z）$
图象的对称轴方程为：$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}，0）（k∈Z）$．
②当x∈$[-\frac{11π}{24}，-\frac{5π}{24}]$，2x+$\frac{π}{4}∈[-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{6}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，-\frac{1}{2}]$
∴f（x）的值域为：[$-4\sqrt{2}，-2\sqrt{2}]$

点评 本题考查三角函数的化简求值，恒等变换的应用，直线函数的简单性质的应用，考查计算能力．