题目内容
已知锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanB=
．
（1）求sin（B+10°）[1-
tan（B-10°）]的值；
（2）若b=1，求△ABC周长的取值范围．
| ||
| a2+c2-b2 |
（1）求sin（B+10°）[1-
| 3 |
（2）若b=1，求△ABC周长的取值范围．
考点：余弦定理,同角三角函数基本关系的运用,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值
分析：（1）通过余弦定理及已知条件，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．利用切化弦求出结果即可．
（2）通过正弦定理求出a+c的表达式，然后求解范围即可．
（2）通过正弦定理求出a+c的表达式，然后求解范围即可．
解答：
解：（1）锐角三角形△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanB=
．
∴sinB=
∴B=60°，
sin（B+10°）[1-
tan（B-10°）]=sin70°[1-
tan50°]
=sin70°[1-
]=sin70°[
]
=-2sin70°
=-
=-1．
（2）由正弦定理可知a+c=
sinA+
sinC=
sinA+
sin(
-A)=
(
sinA+
cosA)=2sin(A+
)，
∵A∈(0，
)，
-A∈(0，
)．∴A∈(
，
)，
∴A+
∈(
，
)
因此a+c=2sin(A+
)∈(
，2]，∴a+b+c∈（1+
，3] …（14分）
| ||
| a2+c2-b2 |
∴sinB=
| ||
| 2 |
sin（B+10°）[1-
| 3 |
| 3 |
=sin70°[1-
| 3 |
| sin50° |
| cos50° |
cos50°-
| ||
| cos50° |
=-2sin70°
| sin20° |
| cos50° |
| sin40° |
| cos50° |
（2）由正弦定理可知a+c=
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 2π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| π |
| 6 |
∵A∈(0，
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴A+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
因此a+c=2sin(A+
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点
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