Question

设非空集合{x|a≤x≤b}满足：当x∈S时，有x²∈S，给出如下三个命题：①若a=1，则S={1}②若a=-

1

2

，则

1

4

≤b≤1；③若b=

1

2

，则-

2

2

≤a≤0．其中正确命题是

 

．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：根据题中条件：“当x∈S时，有x²∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①a=1，得

b2≤b b≥1

，②a=-

1

2

，则

b2≤b 1 4 ≤b

；对于③若b=

1

2

，则

1 2 ≥b 1 2 ≥b2

，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．

解答： 解：由定义设非空集合S={x|a≤x≤b}满足：当x∈S时，有x²∈S知，符合定义的参数a的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证a∈S时，有a²∈S即a²≥b，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证b∈S时，有b²∈S即b²≤b，正对各个命题进行判断：
对于①a=1，a²=1∈S故必有

b2≤b b≥1

，可得b=1，S={1}，
②a=-

1

2

，a2=

1

4

∈S，则

b2≤b 1 4 ≤b

，解之可得

1

4

≤b≤1；
对于③若b=

1

2

，则

1 2 ≥a a2≥a 1 2 ≥a2

，解之可得-

2

2

≤a≤0，
所以正确命题有3个．
故答案为：①②③．

点评：本题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决，是中档题．