Question

9．函数f（x）=x²-ax+a（x∈R），数列$\{a_n^{\;}\}$的前n项和S_n=f（n），且f（x）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
（1）求函数f（x）的表达式；     
（2）求数列$\{a_n^{\;}\}$的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由①可得判别式为0，解得a=0或4，讨论a=0和4，结合条件②，可得f（x）的解析式；
（2）求得S_n=（n-2）²，由n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求数列的通项．

解答 解：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
可得△=a²-4a=0，则a=0或a=4，
当a=0，f（x）=x²在（0，+∞）上是单调递增的，不符合题目要求舍去；
当a=4，f（x）=x²-4x+4在（0，2）上是单调递减（2，+∞）单调增的，符合题意．
所以a=4，f（x）=x²-4x+4；
（2）${S_n}=f（n）={n^2}-4n+4={（n-2）^2}$，
n=1时，a₁=S₁=1，
$n≥2时，{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={（n-2）^2}-{（n-3）^2}=2n-5$．
所以${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查二次不等式的解法和函数的单调性的运用，考查数列的通项公式的求法，注意n=1时的情况，属于基础题和易错题．