Question

16．设函数f（x）=1+$\frac{{x}^{\frac{1}{3}}+x}{{x}^{\frac{2}{3}}+{x}^{2}}$（x∈[-b，-a]∪[a，b]，其中a＜b）的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{{x}^{\frac{1}{3}}+x}{{x}^{\frac{2}{3}}+{x}^{2}}$（x∈[-b，-a]∪[a，b]，其中a＜b），则g（x）是奇函数，可得g（x）_max+g（x）_min=0，根据f（x）=1+$\frac{{x}^{\frac{1}{3}}+x}{{x}^{\frac{2}{3}}+{x}^{2}}$（x∈[-b，-a]∪[a，b]，其中a＜b）的最大值为M，最小值为m，可得M-1+m-1=0，即可求出M+m．

解答 解：设g（x）=$\frac{{x}^{\frac{1}{3}}+x}{{x}^{\frac{2}{3}}+{x}^{2}}$（x∈[-b，-a]∪[a，b]，其中a＜b），则g（x）是奇函数，
∴g（x）_max+g（x）_min=0，
∵f（x）=1+$\frac{{x}^{\frac{1}{3}}+x}{{x}^{\frac{2}{3}}+{x}^{2}}$（x∈[-b，-a]∪[a，b]，其中a＜b）的最大值为M，最小值为m，
∴M-1+m-1=0
∴M-m=2．
故答案为：2．

点评 本题考查函数的奇偶性与最值，考查学生的计算能力，确定函数的奇偶性是关键．