Question

已知直线x+y+m=0与圆x²+y²=4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，

|OA

+

OB

|≥|

AB

|，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[-2，2]
• B、[2，2

  2

  )∪(-2

  2

  ，-2]
• C、(-2

  2

  ，-2]
• D、[2，2

  2

  )

Answer 1

考点：两向量的和或差的模的最值

专题：平面向量及应用

分析：设AB线段的中点为C，可得2|

OC

|≥|

AB

|，可得

2

≤OC＜2，利用圆心到直线的距离公式列出关于m的不等关系，求解即可得到实数m的取值范围．

解答： 解：∵直线x+y+m=0与圆x²+y²=4交于不同的两点A，B，
故AB为圆的一条弦，且圆心O（0，0），半径r=2，
设线段AB的中点为C，根据向量加法的平行四边形法则，可得

OA

+

OB

=2

OC

，
∴

|OA

+

OB

|≥|

AB

|，即为2|

OC

|≥|

AB

|，即|

OC

|≥

1

2

|

AB

|=AC，
根据圆中弦的性质，则△OAC为直角三角形，
∴在Rt△OAC中，OA=r=2，OC≥AC，
∴

2

≤OC＜2，
∵OC为点O到直线x+y+m=0的距离，
故OC=

|0+0+m|

12+12

=

|m|

2

，
∴

2

≤

|m|

2

＜2，即

|m|＜2 2 |m|≥2

，解得m∈（-2

2

，-2]∪[2，2

2

），
∴实数m的取值范围是（-2

2

，-2]∪[2，2

2

）．
故选：B．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，向量的和与向量的模．本题解题的关键是将|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，转化为

2

≤|

OC

|＜2．属于中档题．