Question

已知抛物线D的顶点是椭圆C：

x2

16

+

y2

15

=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线D的方程；
（2）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．
①若直线l的斜率为1，求MN的长；
②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．由椭圆C：

x2

16

+

y2

15

=1可得右焦点（1，0），即可得出p；
（2）①把直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出；
②设存在直线m：x=a满足题意，则圆心E(

x1+4

2

，

y1

2

)，过E作直线x=a的垂线，垂足为F，设直线m与圆E的一个交点为G．可得：|FG|²=|EG|²-|FE|²=(a-3)x1+4a-a2，当a=3时，|FG|²=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值．

解答： 解：（1）由题意，可设抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴抛物线的焦点为（1，0），
∴P=2．
∴抛物线D的方程为y²=4x．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
①直线l的方程为：y=x-4，联立

y=x-4 y2=4x

，整理得：x²-12x+16=0，
x₁+x₂=12，x₁x₂=16．
∴|MN|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×(122-4×16)

=4

10

．
②设存在直线m：x=a满足题意，则圆心E(

x1+4

2

，

y1

2

)，
过E作直线x=a的垂线，垂足为F，
设直线m与圆E的一个交点为G．可得：|FG|²=|EG|²-|FE|²，
即|FG|²=|EA|²-|FE|²=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2，
当a=3时，|FG|²=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2

3

．
因此存在直线m：x=3满足题意．

点评：本题主要考查圆锥曲线的标准方程的求解、与直线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何基本思想方法和综合解题能力，属于难题．