Question

15．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=$\frac{a^2}{4}$的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 通过双曲线的特点知原点O为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF，通过勾股定理得到a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．

解答 解：如图，记右焦点为F′，
则O为FF′的中点，
∵$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}$，
即为$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OE}$，
可得E为PF的中点，
∴OE为△FF′P的中位线，
∴PF′=2OE=a，
∵E为切点，
∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∵点P在双曲线上，
∴PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，有：PF²+PF′²=FF′²，
∴9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{10}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，注意解题方法的积累，属于中档题．