Question

15．已知函数f（x）=-x²+ax（a∈R，b∈R），对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若存在x∈[-1，1]时，使得f（x）-b=0有解，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）
• B． [-3，1]
• C． （-3，1）
• D． 不能确定

Answer 1

分析 根据性质得出对称轴为x=1，求出a，再求出f（x）在[-1.1]上的值域即可．

解答 解：∵对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴f（x）的对称轴为x=1，
∴$\frac{a}{2}$=1，即a=2．
∴f（x）=-x²+2x．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数，
f_max（x）=f（1）=1，f_min（x）=f（-1）=-3．
∵若存在x∈[-1，1]时，使得f（x）-b=0有解，
∴-3≤b≤1．
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的性质，属于中档题．