Question

7．设函数f（x）=e^x-ax²-1，f（x）在区间（0，2）有两个极值点，则实数a的取值范围为（$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为y=e^x和y=2ax在（0，2）2个交点，结合函数图象，求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=e^x-ax²-1，
f′（x）=e^x-2ax，
若f（x）在区间（0，2）有两个极值点，
则y=e^x和y=2ax在（0，2）2个交点，
如图示（1）：
，
将x=2代入y=e^x中得：y=e²，
故A（2，e²），
由e²＞2a•2，解得：a＜$\frac{{e}^{2}}{4}$，
如图示（2）：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=2a}\\{{e}^{{x}_{0}}=2{ax}_{0}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{a=\frac{e}{2}}\end{array}\right.$，
故2a＞e，解得：a＞$\frac{e}{2}$，
故答案为（$\frac{e}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{4}$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数极值问题，是一道中档题．