Question

4．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别为BC，CD上异于端点的点，△ECF的周长为2，∠BAE=α，∠DAF=β．
（Ⅰ）当E为BC中点时，求tan（α+β）的值；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据解直角三角形，和两角和正弦公式，即可求出，
（Ⅱ）根据解三角形和三角形的周长公式，能求出a+β=$\frac{π}{4}$，再根据向量的数量积，以及三角函数的性质即可求出

解答 解：（Ⅰ）∵E为BC中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ECF中，设CF=t，
则 EF=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$，
∵△ECF的周长为2，
∴$\frac{1}{2}$+t+=$\sqrt{{t}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=2，
解得t=$\frac{2}{3}$，即CF=$\frac{2}{3}$；                     
在Rt△ABE中，AB=1，BE=$\frac{1}{2}$，∠BAE=α，
∴tanα=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ADF中，AD=1，DF=$\frac{1}{3}$，∠DAF=β，
∴tanβ=$\frac{1}{3}$，…（2分）
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=1   …（3分）
（Ⅱ）在Rt△ABE中，AB=1，∠BAE=α，
∴BE=tanα∈（0，1），AE=$\frac{1}{cosα}$，
在Rt△ADF中，AD=1，∠DAF=β，
∴DF=tanβ∈（0，1），AF=$\frac{1}{cosβ}$  …（4分）
∴在Rt△ECF中，CE=1-tanα，CF=1-tanβ，
∴EF=$\sqrt{（1-tanα）^{2}+（1-tanβ）^{2}}$，
∵△ECF的周长为2，
∴1-tanα+1-tanβ+$\sqrt{（1-tanα）^{2}+（1-tanβ）^{2}}$=2…（5分）
化简得 tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=1   …（6分）
又∵0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，
∴a+β=$\frac{π}{4}$，…（7分）
∴∠EAF=$\frac{π}{2}$-（α+β）=$\frac{π}{4}$
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{AF}$|•cos∠EAF=$\frac{1}{cosα}$•$\frac{1}{cosβ}$•cos$\frac{π}{4}$ …（8分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2cosαcos（\frac{π}{4}-α）}$=$\frac{2}{\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）+1}$  …（10分）
∵0＜α＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$＜2α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，…（11分）
∴当 2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即a=$\frac{π}{8}$时，sin（2α+$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
即$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$取得最小值$\frac{2}{\sqrt{2}+1}$=2（$\sqrt{2}$-1）．…（12分）

点评 本题考查了解三角形的有关问题，以及三角函数的化简，以及向量的数量积公式和正弦函数的性质，属于中档题．