Question

14．对于数列{a_n}，a₁=a$+\frac{1}{a}$（a＞0．，且a≠1），a_n+1=a₁-$\frac{1}{{a}_{n}}$．
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想这个数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 由递推公式可知，写出a₂、a₃、a₃，进行归纳推理写出通项公式，再利用数学归纳法证明．

解答 解：${a}_{2}={a}_{1}-\frac{1}{{a}_{1}}=a+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+\frac{1}{a}}=\frac{{a}^{4}+{a}^{2}+1}{{a}^{2}+1}×\frac{1}{a}$
${a}_{3}={a}_{2}-\frac{1}{{a}_{2}}=\frac{{a}^{6}+{a}^{4}+{a}^{2}+1}{{a}^{4}+{a}^{2}+1}×\frac{1}{a}$
${a}_{4}={a}_{3}-\frac{1}{{a}_{3}}=\frac{{a}^{8}+{a}^{6}+{a}^{4}+{a}^{2}+1}{{a}^{6}+{a}^{4}+{a}^{2}+1}×\frac{1}{a}$
设${b}_{n}={a}^{2n}+{a}^{2n-2}+{a}^{2n-4}+…+1$
猜想
${a}_{n}=\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}•\frac{1}{a}$
n≤4成立；
设n=k成立，${a}_{k}=\frac{{b}_{k}}{{b}_{k-1}}•\frac{1}{a}$
当n=k+1时，
=${a}_{1}-\frac{{a}_{1}•{b}_{（k-1）}}{{b}_{k}}$
=$\frac{{a}^{2}+1}{a}-\frac{a•{b}_{k-1}}{{b}_{k}}$
=$\frac{{（a}^{2}+1）•{b}_{k}-{a}^{2}•{b}_{k-1}}{a{b}_{k}}$
=$\frac{{b}_{k+1}-1+{b}_{k}-{（b}_{k}-1）}{a{b}_{k}}$
=$\frac{{b}_{k+1}}{a{b}_{k}}$
∴n=k+1成立
由数学归纳法可知原式成立．

点评 本题主要考察对已知递推公式，分别求解，然后根据规律写出通项公式，然后利用数学归纳法进行证明．属于中档题．