Question

12．函数f（x）=sin² x+2cos²x-cosx+2．
（1）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]求函数f（x）的最值及对应的x的值；
（2）若不等式[f（x）-m]²＜1在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，由二次函数区间的最值可得结论．
（2）由（1）中求得的f（x）的范围得到$\frac{11}{4}$-m≤f（x）-m≤3-m，再由不等式-1＜f（x）-m＜1，在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，利用两不等式端点值间的关系列不等式组求解m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=sin² x+2cos²x-cosx+2
=cos²x-cosx+3
=（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得：cosx∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（x）可看作关于cosx∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]的二次函数，
∴当cosx=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取最小值$\frac{11}{4}$；当cosx=0，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取最大值3．
（2）由（1）知，当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，$\frac{11}{4}$-m≤f（x）-m≤3-m，
要使[f（x）-m]²＜1在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，即-1＜f（x）-m＜1，在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
只需：$\left\{\begin{array}{l}{3-m＜1}\\{\frac{11}{4}-m＞-1}\end{array}\right.$，解得2＜m＜$\frac{15}{4}$，
∴实数m的取值范围是（2，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，考查了三角函数值的求法，考查了数学转化思想方法，体现了集合思想在解题中的应用，是中档题．