Question

3．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{a}{2}$x²-（2a+1）x．
（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）确定函数f（x）的定义域，求导数，确定切线的斜率，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=1时，f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$x²-3x，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+x-3，
∴f′（1）=0，
∵f（1）=-$\frac{5}{2}$，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程是y=-$\frac{5}{2}$；
（2）f′（x）=$\frac{2}{x}$+ax-（2a+1）=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$．
0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0可得x＜2或x＞$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0可得2＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，2），（$\frac{1}{a}$，+∞）；单调递减区间是（2，$\frac{1}{a}$）；
a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
a＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0可得x＞2或x＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0可得$\frac{1}{a}$＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）；单调递减区间是（$\frac{1}{a}$，2）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．