Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，直线l：y=kx-1．
（1）当圆C被直线l平分，求k值
（2）在圆C上是否存在A，B两点关于直线y=kx-1对称，且OA⊥OB，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由？

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题意可知，y=kx-1过圆心C，即可求k值；
（2）求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出直线的斜率，推出AB的斜率，设出AB的方程，联立AB与圆的方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，求出b的值，即可求出AB的方程．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²-2x+4y-4=0可化为圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，
由题意可知，y=kx-1过圆心C，所以k=-1，
（2）直线AB的斜率为1，设直线AB的方程为x-y+b=0；对称轴方程为：x+y+1=0，
直线AB与圆C：x²+y²-2x+4y-4=0可得2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0，
x₁x₂=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-1．
因为以AB为直径的圆经过原点．
所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以2×

b2+4b-4

2

+b²+b（-b-1）+b²=0，解得b=1或b=-4
所以所求直线AB的方程为x-y+1=0或x-y-4=0．

点评：本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想与计算能力．