题目内容
15．判断函数$f（x）=\frac{1}{{{x^2}+1}}$在区间（0，1）上的单调性，并用定义证明．分析 设0＜x1＜x2＜1，计算f（x1）-f（x2）并化简，判定f（x1）与f（x2）的大小关系，得出结论．
解答 解：f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$在区间（0，1）上是减函数．
证明：设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$．
∵0＜x1＜x2＜1，∴x22-x12＞0，（x12+1）（x22+1）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$在区间（0，1）上是减函数．
点评 本题考查了函数单调性的判定与证明，属于基础题．
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