Question

7．设命题p：方程x²+2mx+1=0有两个不相等的负根，命题q：?x∈R，x²+2（m-2）x-3m+10≥0恒成立．
（1）若命题p、q均为真命题，求m的取值范围；
（2）若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程与一元二次函数的关系进行转化求解即可．
（2）根据复合命题p∧q为假，命题p∨q为真，得到p、q一真一假，进行求解即可．

解答 解：构造函数f（x）=x²+2mx+1
∵方程x²+2mx+1=0有两个不相等的负根
∴函数f（x）=x²+2mx+1图象与x轴负半轴有两个不同的交点
∴满足的条件为$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\\{f（0）=1＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞1或m＜-1}\\{m＞0}\end{array}\right.$
∴实数m的取值范围m＞1
故实数m的取值范围（1，+∞），
若命题q为真，则有△=4（m-2）²-4（-3m+10）≤0
解得-2≤m≤3．
若p、q均为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{-2≤m≤3}\end{array}\right.$，即1＜m≤3．
（2）由p∨q为真，p∧q为假知，p、q一真一假．
①当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m＜-2或m＞3}\end{array}\right.$，
即m＞3；
②当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-2≤m≤3}\end{array}\right.$，
即-2≤m≤1．
∴实数m的取值范围是m＞3或-2≤m≤1．
综上可述，实数m的取值范围为（3，+∞）∪[-2，1]．

点评 本题考查复合命题的真假的判定，考查函数与方程的思想，求出命题的等价条件是解决本题的关键．